matematika


e-mail:
matematika

Matematika-online-a.kvalitne.cz

Stránky, které podporujeme:

Matematika - doučování

Koně

Auta


matematika

e-mail:

Ochrana osobních údajů

Úvodní stránka » Komplexní čísla

Komplexní čísla

Kalkulačky pro počítání s komplexními čísly

      Asi Vás nejdříve napadne otázka proč zavádíme komplexní čísla když už máme čísla reálná a to od mínus nekonečna do plus nekonečna :-). Odpověď je jednoduchá: pokud jste již někdy řešili kvadraticé rovnice, tak jistě víte, že se může stát, že vyjde diskriminant záporné číslo. Jak jistě víte odmocniny záporných čísel neexistují. Takže pokud by jsme tuto kvadratickou rovnici řešili v oboru reálných čísel, odpověď by byla, že řešení v oboru reálných čísel neexistuje. Pokud si však zavedeme čísla komplexní, řešení kvadratické rovnice můžeme nalést v oboru komplexních čísel i v případě, že vyjde diskriminant záporný.

       Množinu reálných čísel R můžeme zobrazit na přímce. Pro zobrazení množiny komplexních čísel potřebujeme rovinu. Tuto rovinu značíme C. Komplexní číslo lze zapsat v třech různých tvarech: algebraický tvar, goniometrický tvar a exponenciální tvar. Komplexní čísla se vyjadřují pomocí imaginární jednotky i. Pro i platí následující vztahy:

i2 = -1

i3 = -1 * i = -i

i4 = -1 * -1 = 1

i5 = i ...


Geometrické znázornění komplexních čísel

      Komplexní čílsa můžeme zobrazovat v Gaussově rovině. Na ose x zobrazujeme reálnou souřadnici komplexního čísla a na ose y zobrazujeme imaginarní čísla.


Algebraický tvar komplexního čísla

       z = a + i*b , kde a je reálná část komplexního čísla, b je imaginární část komplexního čísla a i je imaginární jednotka.

       U komplexního čísla můžeme dále vypočítat absolutní hodnotu komplexního čísla: |z| = √(a2+ b2), která vyjadřuje vzdálenost komplexního čísla od počátku a argument komplexního čísla cos(φ) = b/|z| nebo sin(φ) = a/|z|


Goniometrický tvar komplexniho čísla

      Každé komplexní číslo, které se nerovná nule lze vyjádřit v goniometrickém tvaru. K vyjádření komplexního čísla v goniometrickém tvaru potřebujeme znát absolutní hodnotu komplexního čísla |z| ( také se nazývá někdy modul ) a argument komplexního čísla φ (orientovaný úhel).

      Absolutní hodnota komplexního čísla je vzdálenost komplexního čísla od počátku. Absolutní hodnotu čísla z1 = a1 + i*b1 vypočítáme |z1| = √( a12 +b12).

      Argument komplexního čísla vypočítáme z jednoho ze vztahů: sin(φ) = a / |z| nebo cos(φ) = b / |z|.

      Pokud již známe absolutní hodnotu komplexního čísla a argument komplexního čísla můžeme ho napsat v goniometrickém tvaru: z = |z|*cos(φ) +i*|z|*sin(φ) = |z|*(cos(φ) +i*sin(φ)).

      Hlavní výhodou goniometrického tvaru je jednoduché násobení a dělení komplexních čísel v tomto tvaru. Pokud násobíme čísla: z1 = |z1|*(cos(φ1) + i*sin(φ1)) a z2 = |z2|*(cos(φ2) + i*sin(φ2)) platí vztah: z1*z2 = |z1|*|z2|*(cos(φ1 + φ2) + i*sin(φ1 + φ2)). Pro dělení komplexních čísel pak: z1/z2 = |z1|*|z2|*(cos(φ1 - φ2) + i*sin(φ1 - φ2))

      Pro převod zpět na algebraický tvar komplexního čísla použijeme následující vzorce:  a = |z|*cos(φ)  a  b = |z|*sin(φ).


Moivreova věta

      Pro všechna přirozená čísla n platí: (cos(φ) + i*sin(φ))n = (cos(n*φ) + i*sin(n*φ)), takže pro komplexní číslo zn můžeme napsát: zn = |z|n*(cos(n*φ) + i*sin(n*φ)).


Exponenciální tvar komplexního čísla

      Pro zápis komplexního čísla v exponenciálním tvaru potřebujeme stejně jako u goniometrického tvaru znát absolutní hodnotu a argument komplexního čísla. Pokud tedy známe absolutní hodnotu a argument komplexního čísla můžeme toto komplexní číslo napsat v exponenciálním tvaru: z = |z|*ei*φ


Eulerův vzorec

      Eulerův vzorec určuje vztah mezi exponenciálním tvarem komplexního čísla a goniometrickým tvarem komplexního čísla. Eulerův vzorec: ei*φ = (cos(φ) + i*sin(φ))


Nenašli jste co jste potřebovali?
Našli jste chybu?
Máte návrh na zlepšení?
Napište na: matematika-online@email.cz

© :-)